Thème de l'atelier
Pourquoi tous les tambours sont-ils ronds ? Cette question peut être considérée comme l'une des premières questions motivantes de la géométrie spectrale. De manière générale, la géométrie spectrale explore l'interaction entre les propriétés géométriques d'un espace et le spectre des opérateurs différentiels qui y sont définis. Son étude s'appuie sur des théories approfondies et des outils sophistiqués issus de plusieurs domaines des mathématiques, notamment la géométrie différentielle, la physique mathématique, les équations différentielles partielles, la théorie des nombres, les systèmes dynamiques et l'analyse numérique. Ce domaine a également de nombreuses applications dans le monde réel, allant de la physique et la biologie à l'informatique et l'analyse de données.
Bien que la plupart des questions qui seront abordées dans le cadre du programme INI sur la théorie spectrale géométrique et ses applications relèvent des mathématiques pures, ces dernières années ont montré que le calcul scientifique et les approximations numériques sont devenus des outils essentiels pour mieux comprendre les phénomènes mathématiques profonds. Ils fournissent non seulement un soutien intuitif précieux pour le développement de nouvelles approches conceptuelles, mais aident également à construire des preuves analytiques rigoureuses. La communauté a grandement besoin d'outils accessibles pour calculer le spectre de divers opérateurs différentiels et explorer son interaction avec la géométrie sous-jacente, afin de mieux comprendre les comportements extrêmes, les situations singulières, les phénomènes dégénératifs, etc.
L'intelligence artificielle pourrait jouer un rôle prometteur dans la fourniture d'un soutien numérique pour le calcul du spectre et la recherche de formes (ou géométries) extrêmes dans les problèmes d'optimisation spectrale. Traditionnellement, l'identification des formes optimales pour les fonctionnelles spectrales repose sur des techniques numériques sophistiquées. Celles-ci comprennent le calcul du spectre à l'aide de méthodes par éléments finis ou de solutions fondamentales, l'évaluation des dérivées topologiques et de forme, la mise en œuvre de méthodes de niveau défini/champ de phase/relaxation/homogénéisation, le tout combiné dans des algorithmes d'optimisation sur mesure. Actuellement, seuls les experts en analyse numérique et en calcul scientifique sont généralement capables d'effectuer cette séquence complexe.
Cependant, la communauté des spécialistes de la géométrie spectrale a manifesté un intérêt marqué et croissant pour ce type de travaux.
Les outils d'IA offrent la possibilité d'introduire une approche totalement nouvelle. Et si nous pouvions apprendre le spectre — ou plus largement, toute quantité différentielle ou variationnelle — directement à partir de la géométrie ? Une procédure d'apprentissage bien conçue pourrait contourner toute la chaîne des approximations numériques traditionnelles des EDP et les remplacer par des réseaux neuronaux capables de produire des estimations suffisamment précises. Ces calculs seraient non seulement beaucoup plus rapides, mais pourraient également être intégrés dans des algorithmes d'optimisation standard fonctionnant dans des espaces à dimension finie.
Bien que cette approche ne permette pas d'atteindre immédiatement la grande précision des méthodes classiques, elle pourrait néanmoins fournir aux géomètres spectraux un outil intuitif, facile à utiliser et efficace sur le plan informatique. Elle peut être combinée à des algorithmes de preuve automatisés : même si une telle combinaison ne fournirait pas directement de preuves rigoureuses, cette stratégie pourrait être efficace pour guider l'intuition et identifier des contre-exemples potentiels qui pourraient ensuite être confirmés par une analyse mathématique rigoureuse.
L'objectif de cet atelier est de réunir des spécialistes issus de plusieurs communautés : géomètres spectraux, analystes numériques et chercheurs travaillant dans le domaine du traitement des données géométriques par l'IA et des EDP. Le développement de l'analyse spectrale basée sur l'IA nécessite une interaction approfondie entre eux. Notre objectif principal est d'échanger des points de vue et d'approfondir notre compréhension du rôle potentiel que l'intelligence artificielle et le traitement des données géométriques peuvent jouer dans la résolution de questions de recherche en géométrie spectrale, et finalement de favoriser le développement de nouvelles collaborations. Nous souhaitons explorer comment l'IA pourrait fournir de nouvelles méthodes, perspectives ou outils qui pourraient nous aider à résoudre certains problèmes numériques liés soit au calcul du spectre, soit à l'optimisation de la géométrie en relation avec les fonctionnelles spectrales.
L'atelier comprendra une série de courtes présentations suivies d'une discussion ouverte. Les thèmes abordés couvriront différents aspects de la géométrie spectrale, des applications de l'IA dans l'infographie, de l'analyse numérique, du traitement géométrique, de l'optimisation des formes et des preuves assistées par ordinateur.
Conférenciers confirmés :
Les inscriptions seront clôturées le 22 mars 2026.
